Calculateur du critère de Kelly

Le calculateur du critère de Kelly détermine une fraction de bankroll à miser à partir des cotes et de votre estimation de la probabilité. Saisissez vos données pour comparer Kelly intégral, demi-Kelly et quart de Kelly. Le résultat dépend de l'exactitude de votre estimation et peut recommander de ne pas miser.

Qu'est-ce que le critère de Kelly ?

Le critère de Kelly est une formule qui maximise la croissance logarithmique espérée du capital dans un modèle de paris répétés, lorsque les probabilités et les cotes sont connues. John Kelly l'a présenté en 1956 dans le domaine de la théorie de l'information ; il est aussi utilisé pour étudier les paris et les investissements.

Le principe est d'adapter la mise à l'avantage estimé et au capital disponible. Miser davantage que la fraction de Kelly augmente l'exposition et peut réduire la croissance espérée. Miser moins réduit généralement la variabilité des résultats, au prix d'une croissance espérée plus faible dans le modèle.

Une mise positive exige une probabilité estimée supérieure à celle qu'impliquent les cotes, et une estimation suffisamment fiable. Avec une cote de 2.00, le seuil d'équilibre est de 50%. Si vous estimez la probabilité à 55%, Kelly donne une fraction positive de bankroll ; il ne prouve pas que 55% est correct. Voir les stratégies avancées de paris pour la gestion du capital.

Formule de Kelly

Si f* est positif, le pari a une espérance positive selon la probabilité utilisée. Si f* est nul ou négatif, la fraction retenue pour un pari ordinaire est 0% : le modèle ne recommande pas de mise.

Exemple : cote de 2.50 et probabilité estimée de 45%.

Utiliser le calculateur Kelly

1. Saisissez la cote — la cote décimale proposée par Fonbet, Winline ou un autre bookmaker
2. Estimez la probabilité — exprimez votre estimation en pourcentage, à partir des statistiques, de ressources d'analyse et de votre méthode
3. Saisissez la bankroll — le capital actuellement réservé aux paris, en euros
4. Examinez le résultat — comparez le montant calculé et les fractions plus prudentes de Kelly

Si le calculateur indique 0%, les cotes ne donnent pas d'espérance positive selon votre estimation. Pour vérifier ce point, consultez le calculateur de value bet.

Avantages et limites du critère de Kelly

Kelly fournit un cadre mathématique pour gérer les mises. Son résultat reste soumis aux hypothèses et aux limites suivantes.

Une fraction de Kelly, comme la moitié ou le quart, réduit l'exposition. Pour un faible avantage, une approximation donne au demi-Kelly environ 75% de la croissance logarithmique espérée de Kelly intégral ; ce n'est pas un ratio universel. Le calculateur de marge permet aussi d'examiner les prix du marché.

Calcul de Kelly étape par étape

Prenons un exemple chiffré, avec les montants exprimés en euros.

Données. Spartak — Dynamo, dans le championnat russe. La cote de la victoire du Spartak est de 2.10. Après avoir étudié les xG des 10 derniers matchs, les performances à domicile et les compositions, vous estimez sa probabilité de victoire à 55%. Votre bankroll est de 30 000 €.

Étape 1 : définir les variables.

Étape 2 : appliquer la formule.

Étape 3 : calculer la mise. En utilisant la fraction arrondie de 14.1%, la mise est de 30 000 * 0.141 = 4 230 €. Une victoire porterait la bankroll à 30 000 + 4 230 * 1.10 = 34 653 €, une défaite la ramènerait à 25 770 €. Le montant calculé sans arrondir f* serait légèrement différent.

Étape 4 : tester la sensibilité. Supposons que la vraie probabilité soit de 50% plutôt que de 55% :

Avec 50%, la fraction est d'environ 4.5%, soit environ trois fois moins. Une différence de 5 points de pourcentage dans l'estimation change fortement la mise : c'est une raison d'envisager Kelly fractionné.

Avec une probabilité estimée à 47%, f* = (0.47 * 1.10 − 0.53) / 1.10 ≈ −0.0118. La fraction est négative et la mise retenue est donc de 0% : la cote de 2.10 ne donne pas d'espérance positive selon cette estimation.

Étape 5 : distinguer les issues du match et celles du pari. La formule simple décrit un pari qui gagne ou perd. Un match de football a souvent trois issues, mais pour un pari sur la victoire de la première équipe, p est la probabilité de cette victoire et q celle d'un nul ou d'une défaite. Les règles de règlement doivent correspondre à ce modèle ; un remboursement ou un règlement partiel demande un traitement adapté.

Consignez votre probabilité estimée, la cote, la mise et le résultat. Après 100 paris, une première comparaison avec la fréquence des victoires peut être utile, mais demeure très incertaine. Un écart apparent de 3–5 points ne justifie pas automatiquement un ajustement précis : évaluez la calibration et la taille de l'échantillon. La marge du bookmaker influence les cotes proposées ; utiliser la cote réellement disponible ne fausse pas en soi la formule.

Kelly fractionné : réduire l'exposition

Kelly intégral maximise la croissance logarithmique espérée sous les hypothèses du modèle, mais peut entraîner de fortes baisses du capital. Kelly fractionné multiplie la fraction calculée par un facteur inférieur à 1.

Kelly intégral et trois fractions possibles :

La colonne de croissance utilise l'approximation de faible avantage 2c − c², où c est le facteur de Kelly ; elle ne donne pas un rendement garanti. Le demi-Kelly peut réduire les fluctuations, mais ne divise pas nécessairement la baisse maximale par deux. Pour une bankroll de 30 000 € et 100 paris, l'écart final dépend des résultats et ne peut pas être fixé d'avance à 10–15%.

Choisir une fraction :

• Kelly intégral — exige un modèle de probabilité fiable et une forte tolérance aux fluctuations. Une confiance déclarée de 90%+ n'est pas un test de validité.
• Demi-Kelly — une option pour réduire l'exposition lorsque les estimations sont suivies et réévaluées. Une bankroll de 10 000 € n'est pas un seuil mathématique.
• Quart de Kelly — une fraction plus prudente lorsque les données sont limitées, par exemple en début de saison ou sur une compétition moins connue.
• Dixième de Kelly — encore plus réduit ; il n'équivaut pas automatiquement à une mise fixe de 1–2%, car il dépend toujours de l'avantage estimé.

Choisissez une règle cohérente plutôt que de changer de fraction sous l'effet de l'émotion. La mise proportionnelle du modèle est recalculée sur le capital disponible avant chaque pari. Un recalcul seulement tous les 10–20 paris constitue une autre méthode, dont les résultats peuvent différer ; les paris simultanés demandent aussi de tenir compte du capital déjà engagé.

Exemple sur une série. Avec 20 000 €, des cotes de 2.00 et une probabilité estimée de 55% contre 50% implicites, Kelly intégral donne 10% et le demi-Kelly 5%, soit initialement 1 000 €. En recalculant la mise après chaque pari, 12 victoires et 8 défaites sur 20 paris donnent 20 000 × 1.05¹² × 0.95⁸ ≈ 23 828.16 €. Avec Kelly intégral, le même bilan donne 20 000 × 1.10¹² × 0.90⁸ ≈ 27 019.81 €. À partir de 20 000 €, cinq défaites consécutives laisseraient environ 11 809.80 € avec Kelly intégral et 15 475.62 € avec le demi-Kelly. Si la vraie probabilité de victoire est de 55% et les paris indépendants, la probabilité de cinq défaites dans un bloc précis de cinq paris est 0.45⁵ ≈ 1.85% ; celle d'en rencontrer quelque part dans une série plus longue est différente.

Après des pertes, un calcul proportionnel réduit automatiquement les mises. Il ne garantit pas la protection contre toute perte ou contre une bankroll devenue trop petite pour la mise minimale. Augmenter les mises pour se refaire sort du modèle. Le hedging constitue une autre façon de réduire l'exposition, mais ne permet de fixer un bénéfice que si les cotes et les mises le permettent.

Kelly et value bet : deux calculs complémentaires

Le calcul de value examine le rendement espéré d'un pari ; Kelly examine la fraction du capital à lui affecter. Tous deux dépendent de la même estimation de probabilité. Une value positive peut aussi être associée à d'autres méthodes de mise.

La value. À 2.50, la probabilité implicite est de 40%. Si votre estimation est de 45%, la différence est de 5 points de pourcentage et le rendement espéré est de 12.5% de la mise. Ces deux mesures ne sont pas interchangeables. Le calculateur de value bet les distingue.

La value dans Kelly. Dans f* = (p*b − q) / b, le numérateur p*b − q représente le bénéfice net espéré par unité misée. S'il est positif, le pari présente une value positive selon p. À cote fixe, f* augmente avec cet avantage estimé.

Trois exemples à la même cote de 2.00 :

À cette cote, un écart estimé de 2 points donne 4% de Kelly, contre 20% pour un écart de 10 points. Une fraction plus élevée augmente fortement l'exposition : elle n'est justifiée par le modèle que si l'estimation est fiable, et ne garantit aucun bénéfice.

Une démarche possible :

1. Repérez une possibilité de value et examinez-la avec le calculateur de value bet.
2. Si votre estimation dépasse la probabilité implicite, calculez Kelly sans considérer l'estimation comme prouvée.
3. Étudiez une fraction telle que 0.25–0.5, en tenant compte de l'incertitude.
4. Un plafond personnel de 5% peut limiter l'exposition ; il s'agit d'une règle supplémentaire, pas d'une garantie ni d'une condition universelle de Kelly.
5. Réévaluez régulièrement la qualité des probabilités. Un bilan de 20–30 paris reste trop court pour conclure à lui seul.

Le calculateur ROI permet de suivre les rendements enregistrés. Un ROI positif sur 200+ paris ne valide pas automatiquement le modèle de probabilité et ne suffit pas, à lui seul, à justifier le passage du quart au demi-Kelly.

Erreur fréquente : Kelly sans avantage. Si vous utilisez uniquement la probabilité implicite de la cote, par exemple 50% à 2.00, la formule donne 0%. Le modèle ne constate alors aucun avantage. Une mise positive requiert une probabilité estimée supérieure au seuil d'équilibre, pas simplement différente.

Les paris simultanés exigent une attention particulière. La formule simple traite une position à la fois ; 3–5 paris ouverts ensemble peuvent cumuler une exposition importante ou des risques corrélés. Diviser les fractions par leur nombre est une règle prudente possible, mais pas une optimisation générale du portefeuille.

Kelly ne surpasse pas automatiquement la mise fixe après 500+ paris, et le taux de réussite n'est pas assuré de se stabiliser après 300 paris. Les fractions de 5–10% à 1.50 ou de 2–3% à 4.00 ne sont que des exemples possibles : sans p, elles ne se calculent pas. Une estimation erronée peut entraîner des mises excessives. La marge affecte les prix offerts ; utilisez la cote réellement disponible et une probabilité estimée indépendamment.

Autres calculateurs

• Calculateur de marge — examiner la marge implicite du marché
• Calculateur de value bet — vérifier le rendement espéré selon votre estimation
• Calculateur de combinés — calculer la cote totale et le paiement potentiel
• Calculateur de paris système — calculer les combinaisons d'un système
• Convertisseur de cotes — passer entre formats décimal, fractionnaire et américain
• Calculateur de hedging — calculer une mise opposée et comparer les résultats